Информатика + математика: построение графиков функций с помощью программирования

Автор: Кузавков Денис Евгеньевич

Организация: МОУ Ермоловская СШ им. П. Д. Дорогойченко

Населенный пункт: Пензенская область, с. Ермоловка

Тип статьи: учебно‑исследовательский, межпредметный (математика + информатика).

Возраст обучающихся: 14–17 лет (8–11 классы).

Продолжительность: 6–8 учебных часов (модульный формат, 3–4 недели).

Форма организации: классно‑урочная + самостоятельная работа + мини‑проекты.

Цель: сформировать у учащихся целостное представление о математическом моделировании через практическую реализацию построения графиков функций средствами программирования.

Задачи:

• закрепить и углубить знания о свойствах функций (линейных, квадратичных, тригонометрических);
• освоить базовые конструкции языка Python и работу с библиотеками matplotlib и numpy;
• научиться анализировать влияние параметров на форму и поведение графика;
• развить алгоритмическое, логическое и исследовательское мышление;
• сформировать навыки работы с цифровыми инструментами для визуализации математических объектов;
• создать портфолио работ — набор графиков с аналитическими комментариями.

2. Актуальность и педагогическая значимость

Современный образовательный стандарт требует функциональной грамотности — умения применять знания в реальных ситуациях. Статья решает эту задачу через интеграцию двух дисциплин:

• Математика дает язык описания закономерностей (формулы, функции, уравнения).
• Информатика предоставляет инструменты для их визуализации и анализа (код, графики, симуляции).

Ключевые преимущества:

1. Практико‑ориентированность — ученики видят, как абстрактные формулы превращаются в наглядные графики.
2. Цифровая грамотность — освоение востребованных навыков: работа с данными, библиотеками, отладкой.
3. Исследовательский подход — эксперименты с параметрами, анализ результатов, формулировка выводов.
4. Мотивация — мгновенная визуальная обратная связь повышает интерес к изучению математики.
5. Профориентация — знакомство с инструментами, используемыми в науке, инженерии, анализе данных.

3. Планируемые результаты (по ФГОС)

Предметные (математика):

• понимание свойств функций (область определения, нули, экстремумы, асимптоты);
• умение интерпретировать графики (наклон, амплитуда, период, симметрия);
• навык решения задач через математическое моделирование.

Предметные (информатика):

• владение базовыми конструкциями языка Python (переменные, циклы, условия);
• работа с библиотеками matplotlib (построение графиков) и numpy (математические операции);
• навыки отладки кода и поиска ошибок.

Метапредметные:

• познавательные: анализ, сравнение, обобщение, выявление закономерностей;
• регулятивные: планирование работы, контроль времени, коррекция действий;
• коммуникативные: презентация результатов, обсуждение выводов, взаимопроверка.

Личностные:

• мотивация к изучению математики и информатики через практику;
• уверенность в работе с цифровыми инструментами;
• готовность к самообразованию в IT‑сфере;
• осознание связи математики и программирования с реальными профессиями.

4. Содержание статьи (по модулям)

Модуль 1. Введение в математическое моделирование (1 час)

Теория:

• понятие функции и графика;
• как компьютер «понимает» математические формулы;
• обзор инструментов: Python, matplotlib, numpy, GeoGebra;
• безопасность и организация рабочего пространства (установка ПО, сохранение файлов).

Практика:

• установка Python и библиотек (инструкция с скриншотами);
• первый график: y=x (простейший пример);
• разбор кода: что делает каждая строка.

Домашнее задание:

• построить график y=2x и сравнить с y=x;
• записать наблюдения: как изменился наклон?

Модуль 2. Линейные функции y=kx+b (1,5 часа)

Теория:

• геометрический смысл коэффициентов k (наклон) и b (сдвиг по оси y);
• особые случаи: k=0 (горизонтальная прямая), b=0 (проходит через начало координат);
• взаимное расположение графиков (параллельность, пересечение).

Практика:

• построение графика для заданных k и b;
• исследование: как меняется график при k>0, k<0, ∣k∣>1, ∣k∣<1;
• задание: найти k и b по двум точкам (реализация в коде).

Домашнее задание:

• построить графики y=3x+1 и y=−2x+4 на одном рисунке;
• определить точку пересечения аналитически и проверить кодом.

Модуль 3. Квадратичные функции y=ax2+bx+c (2 часа)

Теория:

• вершина параболы: формула x=−2ab​;
• ось симметрии, направление ветвей (вверх/вниз);
• нули функции (корни квадратного уравнения);
• влияние коэффициентов a, b, c на форму и положение параболы.

Практика:

• построение параболы с вариацией a, b, c;
• поиск нулей функции численно (метод перебора или numpy.roots);
• задание: сравнить графики y=x2 и y=−x2 (вывод о симметрии).

Домашнее задание:

• построить параболу y=2x2−4x+1 и отметить вершину;
• изменить a на 0,5 и описать, как изменился график.

Модуль 4. Тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x) (1,5 часа)

Теория:

• период, амплитуда, фаза;
• связь с колебательными процессами (звук, свет, маятник);
• преобразования: y=Asin(Bx+C)+D (сдвиг, растяжение, сжатие).

Практика:

• построение синусоиды и косинусоиды на одном графике;
• эксперимент: как меняется график при y=sin(2x) или y=2sin(x);
• задание: смоделировать «биения» (сумма двух синусоид с близкими частотами).

Домашнее задание:

• построить y=sin(x)+cos(x) и описать форму;
• добавить параметр B и исследовать, как меняется период.

Модуль 5. Творческий проект (2 часа)

Задача: создать «галерею графиков» (5–7 функций) с аналитическими комментариями.

Требования:

• минимум 3 типа функций (линейная, квадратичная, тригонометрическая);
• подписи осей, легенда, сетка, заголовок;
• анализ: как параметры влияют на форму (например, «при a>0 парабола направлена вверх»);
• презентация результатов: скриншоты + текстовый отчет (1–2 страницы).

Варианты тем:

1. «Семейство парабол: влияние коэффициента a».
2. «Колебания и волны: синусоиды с разными параметрами».
3. «Линейные зависимости в природе и технике».
4. «Комбинированные графики: сумма функций».
5. «Анимация изменения графика при варьировании параметра».

Материалы для учителя:

• пошаговые инструкции с кодом и скриншотами (по каждому модулю);
• банк заданий с решениями и эталонными графиками;
• критерии оценки (подробная рубрика);
• чек‑листы для самопроверки учащихся;
• шаблоны отчётов и презентаций;
• подборка типичных ошибок и способов их исправления.

Организационные моменты:

• Рабочее место: ПК с доступом в интернет (для установки ПО) или предварительно настроенные ноутбуки.
• Формат занятий: 45 мин урок + 30–60 мин самостоятельная работа дома.
• Контроль: текущий (проверка кода на уроке), промежуточный (домашние задания), итоговый (защита проекта).
• Обратная связь: комментарии к коду, устные обсуждения, письменные рецензии.

6. Пошаговая методика проведения занятий

Урок 1. Введение и установка ПО (1 час)

Цель: познакомить с идеей проекта, настроить среду разработки, построить первый график.

Ход урока:

1. Мотивация (5 мин):
   • демонстрация динамических графиков (анимация синусоиды, вращающаяся парабола);
   • вопрос: «Как это сделано?»;
   • связь с реальными профессиями (аналитик данных, инженер, учёный).
2. Теория (10 мин):
   • что такое математическое моделирование;
   • роль программирования в науке и технике;
   • обзор инструментов (Python, matplotlib, GeoGebra).
3. Практика (20 мин):
   • установка Python и библиотек (инструкция на экране);
   • запуск Jupyter Notebook;
   • написание первого кода: построение y=x.
4. Рефлексия (10 мин):
   • обсуждение: «Что удивило? Что было сложно?»;
   • постановка целей на проект.

Домашнее задание:

• построить график y=2x и сравнить с y=x;
• записать 2–3 наблюдения о влиянии коэффициента k.

Урок 2. Линейные функции (1,5 часа)

Цель: освоить построение и анализ линейных графиков в коде.

Ход урока:

1. Актуализация (5 мин):
   • опрос: «Что такое линейная функция? Как построить вручную?»;
   • сравнение ручного чертежа и компьютерного графика.
2. Теория (10 мин):
   • геометрический смысл k и b;
   • особые случаи (k=0, b=0);
   • взаимное расположение графиков.
3. Практика (30 мин):
   • построение y=kx+b для разных k и b;
   • эксперимент: как меняется наклон при ∣k∣>1 и ∣k∣<1;
   • задание: найти k и b по двум точкам (код + проверка).
4. Анализ (15 мин):
   • обсуждение результатов;
   • формулировка выводов: «При k>0 график возрастает…».
5. Рефлексия (5 мин):
   • «Что нового узнали? Где применимо?».

Домашнее задание:

• построить графики y=3x+1 и y=−2x+4 на одном рисунке;
• определить точку пересечения аналитически и проверить кодом.

Урок 3. Квадратичные функции (2 часа)

Цель: исследовать параболу через программирование.

Ход урока:

1. Актуализация (5 мин):
   • вопросы: «Что такое парабола? Где встречается?»;
   • повторение формулы вершины.
2. Теория (10 мин):
   • влияние a, b, c на форму и положение;
   • нули функции и их поиск.
3. Практика (40 мин):
   • построение параболы с вариацией параметров;
   • поиск корней численно (numpy.roots или цикл);
   • задание: сравнить y=x2 и y=−x2.
4. Анализ (15 мин):
   • обсуждение: «Как меняется график при a>0 и a<0?»;
   • вывод о симметрии.
5. Рефлексия (5 мин):
   • «Какие трудности возникли? Как их преодолели?».

Домашнее задание:

• построить y=2x2−4x+1, отметить вершину;
• изменить a на 0,5 и описать изменения.

Урок 4. Тригонометрические функции (1,5 часа)

Цель: изучить синусоиды и косинусоиды через код.

Ход урока:

1. Актуализация (5 мин):
   • вопросы: «Где встречаются колебания? Что такое период?»;
   • демонстрация реальных процессов (звук, маятник).
2. Теория (10 мин):
   • период, амплитуда, фаза;
   • преобразования y=Asin(Bx+C)+D.
3. Практика (30 мин):
   • построение sin(x) и cos(x) на одном графике;
   • эксперимент с B и A (изменение периода и амплитуды);
   • задание: смоделировать «биения».
4. Анализ (15 мин):
   • обсуждение: «Как влияет B на период?»;
   • связь с физикой (частота, длина волны).
5. Рефлексия (5 мин):
   • «Где еще применимы тригонометрические функции?».

Домашнее задание:

• построить y=sin(x)+cos(x), описать форму;
• добавить параметр B и исследовать период.

Урок 5–6. Творческий проект (2 часа)

Цель: создать и защитить мини‑проект с анализом графиков.

Ход урока:

1. Постановка задачи (10 мин):
   • выбор темы из предложенных или своей;
   • обсуждение плана работы.
2. Самостоятельная работа (60 мин):
   • программирование графиков;
   • анализ влияния параметров;
   • подготовка отчета и презентации.
3. Защита проектов (30 мин):
   • выступление (3–5 мин на группу);
   • вопросы от одноклассников и учителя.
4. Рефлексия (10 мин):
   • «Что узнали нового? Какие навыки приобрели?»;
   • анкетирование об удовлетворённости проектом.

7. Критерии оценки (подробная рубрика)

1. Математическая грамотность (максимум 5 баллов):

• 5 б.: все формулы верны, промежутки выбраны корректно, выводы обоснованы;
• 4 б.: 1–2 мелкие ошибки в формулах или выводах;
• 3 б.: ошибки в интерпретации графиков, но основная идея верна;
• 2 б.: существенные ошибки в формулах, неверные выводы;
• 1 б.: работа не завершена, грубые ошибки.

2. Программированные навыки (максимум 5 баллов):

• 5 б.: код работает без ошибок, использует библиотеки, чист и читаем;
• 4 б.: 1–2 синтаксические ошибки, исправленные самостоятельно;
• 3 б.: код требует доработки, но основная логика верна;
• 2 б.: многочисленные ошибки, график не строится;
• 1 б.: код не запускается, отсутствуют ключевые элементы.

3. Аналитические умения (максимум 5 баллов):

• 5 б.: чёткие выводы о влиянии параметров, сравнение графиков, связь с реальностью;
• 4 б.: выводы есть, но не все обоснованы;
• 3 б.: поверхностные выводы, отсутствие анализа;
• 2 б.: выводы отсутствуют или неверны;
• 1 б.: анализ не проведён.

4. Креативность и оформление (максимум 5 баллов, продолжение):

• 2 б.: оформление отсутствует, подписи нечитаемы, график трудно интерпретировать;
• 1 б.: работа выполнена формально, без элементов визуализации, отчёт не оформлен.

Итоговая шкала оценок:

• «5» (отлично): 17–20 баллов (глубокое понимание математики, безупречный код, развёрнутый анализ, креативность);
• «4» (хорошо): 13–16 баллов (верные решения с небольшими недочётами, хороший код, достаточный анализ);
• «3» (удовлетворительно): 9–12 баллов (основные задачи решены, но есть ошибки в математике или коде, поверхностный анализ);
• «2» (неудовлетворительно): менее 9 баллов (значительные ошибки, незавершённая работа, отсутствие анализа).

8. Формы контроля и диагностики

1. Текущий контроль (на каждом уроке):
   • проверка кода в режиме реального времени;
   • устные вопросы по теории;
   • наблюдение за ходом работы (фиксация трудностей).
2. Промежуточный контроль (после каждого модуля):
   • домашние задания с разбором на уроке;
   • мини‑тесты на понимание свойств функций;
   • самопроверка по чек‑листам.
3. Итоговый контроль:
   • защита творческого проекта (презентация + код);
   • письменный отчёт с анализом графиков;
   • рефлексивная анкета (оценка удовлетворённости, интерес к теме).

9. Дифференциация заданий

Базовый уровень (для учащихся с низким стартовым уровнем):

• готовые шаблоны кода с пропущенными фрагментами (например, подставить формулу);
• пошаговые инструкции с примерами;
• задания на построение 1–2 графиков без вариаций параметров;
• упрощённые вопросы для анализа («Как изменился наклон?»).

Продвинутый уровень (для уверенных в математике и программировании):

• самостоятельное написание кода с нуля;
• задания на комбинирование функций (например, y=x2+sin(x));
• поиск корней уравнений численными методами;
• добавление анимаций (изменение параметра в реальном времени).

Творческий уровень (для мотивированных учащихся):

• моделирование реальных процессов (траектория броска тела, затухающие колебания);
• создание интерактивных графиков с ползунками (библиотека ipywidgets в Jupyter);
• разработка мини‑приложения для исследования функций;
• подготовка методических материалов для младших классов.

10. Типичные трудности и способы их преодоления

1. «Не понимаю, как перевести формулу в код»
   • Решение: пошаговые разборы (например, y=2x+1 → y = 2 * x + 1);
   • визуальные схемы: формула → алгоритм → код.
2. «График не строится»
   • Причины: ошибки в синтаксисе, неверный диапазон x, отсутствие plt.show();
   • Решение: чек‑лист для самопроверки, демонстрация отладки.
3. «Не вижу связи между математикой и программированием»
   • Решение: акцент на алгоритмизации (шаги решения уравнения = шаги кода), сравнение ручного и компьютерного построения.
4. «Боюсь экспериментировать»
   • Решение: поощрение проб и ошибок, игровые задания («Что будет, если изменить a на −1?»).
5. «Не успеваю за темпом»
   • Решение: дифференцированные задания, дополнительные консультации, парная работа.

11. Материально‑техническое обеспечение

Необходимое оборудование:

• компьютеры/ноутбуки с доступом в интернет (для установки ПО);
• проектор и экран для демонстрации;
• наушники (для просмотра обучающих видео).

Программное обеспечение:

• Python 3.x (с библиотеками matplotlib, numpy);
• Jupyter Notebook или среда разработки (PyCharm, VS Code, Thonny);
• GeoGebra (онлайн или локальная версия);
• Google Colab (альтернатива для слабых ПК).

Раздаточные материалы:

• инструкции по установке ПО;
• шаблоны кода для каждого модуля;
• чек‑листы самопроверки;
• бланки отчётов и презентаций;
• список полезных ресурсов (документация, видеоуроки).

12. Рекомендации по организации пространства

1. Классная комната:
   • расстановка парт «полукругом» для удобства демонстрации;
   • зона для групповой работы (столы сдвинуты по 3–4 человека);
   • доска/флипчарт для записи формул и алгоритмов.
2. Онлайн‑формат:
   • платформа для видеоконференций (Zoom, Teams);
   • облачные среды (Google Colab, JupyterHub);
   • чат для вопросов и обратной связи.
3. Гибридный формат:
   • синхронное объяснение теории онлайн;
   • самостоятельная практика в классе или дома;
   • консультации в малых группах.

13. Рефлексия и оценка эффективности проекта

Для учащихся:

• анкета с вопросами:
  • «Что нового вы узнали?»;
  • «Какие навыки приобрели?»;
  • «Где ещё можно применить программирование в математике?»;
  • «Что было самым интересным/сложным?»;
• самооценка по критериям (математическая грамотность, программирование, анализ, креативность).

Для учителя:

• анализ результатов (средний балл, динамика роста);
• выявление типичных ошибок и пробелов;
• корректировка методики для следующих групп.

Показатели успешности:

• повышение мотивации к изучению математики и информатики;
• рост уверенности в работе с цифровыми инструментами;
• умение применять алгоритмы для решения задач;
• готовность к исследовательской деятельности.

14. Перспективы развития проекта

1. Расширение тематики:
   • логарифмические и показательные функции;
   • параметрические графики и трёхмерные поверхности;
   • дифференциальные уравнения и их численное решение.
2. Интеграция с другими предметами:
   • физика (графики движения, колебаний);
   • экономика (модели спроса и предложения);
   • биология (рост популяций, кинетика реакций).
3. Участие в конкурсах:
   • школьные научно‑практические конференции;
   • онлайн‑соревнования по программированию (Codeforces, Kaggle для школьников).
4. Создание электронного ресурса:
   • сборник лучших проектов с комментариями;
   • видеоуроки по построению графиков;
   • интерактивные тренажёры для отработки навыков.

15. Заключение

Статья «Информатика + математика» демонстрирует синергию двух дисциплин:

• математика становится наглядной и живой через визуализацию;
• программирование превращается в инструмент познания, а не просто набор команд;
• учащиеся приобретают комплексные навыки, востребованные в XXI веке:
  • алгоритмическое мышление;
  • работа с данными;
  • исследовательский подход;
  • цифровая грамотность.

Итоговые результаты:

1. Углубленное понимание свойств функций через эксперименты с кодом.
2. Овладение инструментами математического моделирования (Python, matplotlib).
3. Развитие критического мышления — от гипотезы к проверке на графике.
4. Формирование мотивации к изучению STEM‑дисциплин.

Рекомендации для педагога:

• начинайте с простых функций и постепенно усложняйте задания;
• поощряйте самостоятельные исследования («А что будет, если?..»);
• связывайте темы с реальными процессами (физика, экономика, биология);
• создавайте атмосферу сотрудничества — пусть ученики помогают друг другу;
• используйте обратную связь для корректировки методики.

Вывод: данная статья не только закрепляет знания по алгебре, но и готовит учащихся к цифровой экономике, где умение моделировать и анализировать данные — ключевой навык.